I numeri naturali

Cosa sono i numeri naturali?

Sappi che abbiamo preparato delle domande per verificare la tua comprensione, non dimenticare di rispondere alle domande. Appena pronto clicca qui.

Quando parliamo di numeri naturali, parliamo dei mattoni fondamentali del mondo dei numeri.

I numeri naturali sono i numeri che usiamo per contare e ordinare gli oggetti, le cose nella vita quotidiana: 1,2, 3, 4 e via dicendo…

Abbiamo visto quindi che i numeri naturali comprendono tutti i numeri positivi a partire da 1 (o anche da 0 in alcune formulazioni) fino all’infinito.

Dal momento che i numeri naturali rappresentano la base per costruzioni più complesse, giocano un ruolo fondamentale per l’a matematica l’algebra.

In particolare sono numeri su cui si basano i numeri interi (compresi quelli negativi), i numeri razionali (rapporti di numeri interi) che, senza di essi, non potrebbero essere definiti con precisione.

Ma i numeri naturali vanno decisamente oltre la loro definizione algebrica, infatti, li usiamo per contare tutto, dal denaro, agli ingredienti per le ricette, dalla posologia di una medicina, fino al modo per contare il trascorrere del tempo.

Per quanto riguarda l’apprendimento, lo studio dei numeri naturali, rappresenta l’inizio del percorso nel mondo della matematica per ogni bambino. Percorso che sta alla base dello sviluppo del ragionamento logico e la comprensioni di concetti più complessi.

E se questo, da solo, non bastasse, vale la pena ricordare che i numeri naturali costituiscono il cuore di molte tecnologie moderne come la programmazione.

Senza una perfetta comprensioni di cosa sono i numeri naturali, la gran parte degli strumenti digitali che utilizziamo oggi, potrebbero non funzionare nel modo corretto.

La semplicità di questi numeri nasconde tuttavia una profondità impensabile e una vasta gamma di applicazioni, rendendoli un argomento di studio perpetuamente affascinante e vitale.

Definizione formale e proprietà

Definizione formale dei Numeri Naturali

I numeri naturali sono un insieme di numeri interi positivi che si utilizzano tipicamente per contare e ordinare. Formalmente, l’insieme dei numeri naturali può essere rappresentato come:

N = {1, 2, 3, 4,…..}

In alcune situazioni però, ad esempio quando si parla della teoria degli insiemi, lo zero viene considerato facente parte dell’insieme dei numeri naturali, e quindi otteniamo questo:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…..}

Fatta questa premessa, la definizione dei numeri naturali può essere integrata grazie agli assiomi di Giuseppe Peano, matematico italiano che nel 1889 sviluppo i suoi studi matematici.

Gli assiomi di Peano definiscono le proprietà fondamentali dei numeri naturali. Una di queste proprietà è quella della successione. Essa stabilisce come è possibile generare tutti i numeri naturali partendo da 0, oppure da 1 a seconda delle situazioni, attraverso l’operazione di successione, sommando 1 al valore che lo precede.

Tutti gli assiomi di Peano:

1. Esiste un numero naturale 0. (In alcune formulazioni, il primo numero naturale è 1).
2. Ogni numero naturale (a) ha un unico successore (a’), anch’esso un numero naturale.
3. Non esiste un numero naturale il cui successore è 0.
4. Numeri naturali diversi hanno successori diversi; cioè, se a ≠ b, allora a’ ≠ b’.
5. (Principio di induzione) – Se un insieme di numeri naturali contiene lo 0 e, ogni volta che contiene un numero (a), contiene anche il successore (a’), allora l’insieme contiene tutti i numeri naturali.

Proprietà fondamentali dei Numeri Naturali

Per poter operare con i numeri naturali e fare operazioni aritmetiche è necessario tenere presente le diverse proprietà algebriche. Le proprietà algebriche a cui ci riferiamo sono:

• Proprietà commutativa dell’addizione: presa una qualsiasi coppia di numeri naturali ( a ) e ( b ), il risultato che otterremo, non sarà condizionato dall’ordine in cui questi numeri vengono utilizzati. La somma quindi avrà lo stesso risultato: ( a + b = b + a ).
  
  
• Proprietà associativa dell’addizione: simile alla proprietà precedente, nel caso della proprietà associativa abbiamo che sommando tra loro tre numeri naturali, il risultato ottenuto non varierà modificando l’ordine dei numeri stessi: ( (a + b) + c = a + (b + c) ).
  
  
• Proprietà commutativa della moltiplicazione: del tutto simile all’addizione, la moltiplicazione di due numeri naturali non varia cambiando l’ordine dei numeri naturali: ( a x b = b x a ).
  
  
• Proprietà associativa della moltiplicazione: variando l’ordine tra tre numeri naturali il risultato ottenuto sarà il medesimo: ( (a x b) x c = a x (b x c) ).
  
  
• Elemento neutro dell’addizione: il numero zero è l’elemento neutro dell’addizione nei numeri naturali. Questo significa che sommando un numero diverso da zero (ad esempio a), allo zero, otterremo esattamente il numero diverso da zero: ( a + 0 = a ).
  
  
• Elemento neutro della moltiplicazione: il numero 1 viene considerato come l’elemento neutro nella moltiplicazione. Moltiplicando un numero naturale (a) differente da zero, per il numero 1, il risultato sarà pari al numero stesso: ( a x 1 = a ).

Il concetto di infinità dei Numeri Naturali

Il numeri naturali non hanno un limite superiore. Partendo da 0, oppure da 1, possiamo trovare sempre un numero successivo fino all’infinito. Per ogni numero naturale, esiste sempre un numero successivo. Questa è una delle proprietà più affascinanti dei numeri naturali.

Tale proprietà viene definita infinità numerabile ed sta proprio a significare che i numeri naturali sono infiniti.